"Једначине математичке физике" - курс 2800 руб. из МСУ, обука 15 недеља. (4 месеца), Датум: 30. новембар 2023.
мисцеланеа / / December 02, 2023
Курс је намењен бачелорима, мастерима и специјалистима специјализованим за математичке, инжењерске или природне науке, као и универзитетским наставницима. Сврха предмета је да студента упозна са низом класичних питања из области једначина са математичком физиком и да студента научи основним методама проучавања таквих једначина. Предмет обухвата класично градиво о једначинама математичке физике (парцијалне диференцијалне једначине) у оквиру једног семестра студија. Одељци „Линеарне и квазилинеарне једначине првог реда“, „Класификација линеарних једначина“, „Таласна једначина“, „Параболична једначина“, „Основна решења“, „Лапласова једначина“.Упознаћемо се са класичним формулацијама задатака – Кошијевим проблемом, гранични проблем. Овладајмо основним методама проучавања једначина – директном интеграцијом, методом наставка решења, Фуријеовом методом, методом фундаменталних решења, методом потенцијала. Често ћемо се присећати извођења ових једначина у проблемима математичке физике и граница применљивости наших модела.
Форма учења
Дописни курсеви коришћењем технологија учења на даљину
Захтеви за пријем
Доступност ВО или СПО
2
наравноДоктор физичко-математичких наука, Професорска позиција: Професор Катедре за основну и примењену математику Факултета за свемирска истраживања Московског државног универзитета по имену М.В.Ломоносов
1. Први састанак.
Уводна реч. Основни принципи рада са једначинама математичке физике. Примери једноставних једначина. Класификација. Решавање једноставних једначина свођењем на обичне диференцијалне једначине. Замена променљивих у једначини.
2. Једначине првог реда – линеарне и квазилинеарне.
Линеарне једначине. Проналажење одговарајуће замене – састављање и решавање система обичних диференцијалних једначина првог реда. Први интеграли система. Карактеристике. Квазилинеарне једначине. Проналажење решења у имплицитној форми.
3. Цауцхи проблем. Класификација линеарних једначина другог реда.
Изјава Кошијевог проблема. Теорема о постојању и јединствености решења Кошијевог проблема. Класификација линеарних једначина другог реда са константним коефицијентима. Свођење на канонски облик.
4. Хиперболичке, параболичке и елиптичке једначине.
Класификација линеарних једначина другог реда са променљивим коефицијентима на равни. Хиперболички, параболични и елиптични тип. Решавање хиперболичних једначина. Проблеми са почетним и граничним условима.
5. Једначина низа.
Једнодимензионална таласна једначина на целој оси. Талас напред и назад. д'Аламберова формула. Духамел интеграл. Гранични услови за једначину на полуоси. Основни типови граничних услова. Наставак решења. Случај коначног сегмента.
6. Фуријеов метод користећи једначину низа као пример.
Идеја Фуријеове методе. Први корак је проналажење основе. Други корак је добијање обичних диференцијалних једначина за Фуријеове коефицијенте. Трећи корак је узимање у обзир почетних података. Конвергенција серија.
7. Једначина дифузије (коначни сегмент).
Извођење једначине. Формулација проблема (почетни и гранични услови). Фуријеов метод. Узимајући у обзир десну страну и нехомогеност у граничним условима. Конвергенција серија.
8. Једначина дифузије (цела оса).
Фуријеова трансформација, формула инверзије. Решавање једначине помоћу Фуријеове трансформације. Теорема – оправданост методе (два случаја). Поиссонова формула. Случај једначине са десном страном.
9. Генерализоване функције.
Писање Поасонове формуле као конволуције. Записивање у облику конволуције решења једначине топлоте на коначном сегменту. Шварц класа. Примери функција из класе. Дефиниција генерализованих функција, веза са класичним функцијама. Множење генерализоване функције основном функцијом, диференцијација. Конвергенција генерализованих функција. Примери генеричких функција.
10. Рад са генеричким функцијама.
Решавање обичних диференцијалних једначина у генерализованим функцијама. Фуријеова трансформација генерализованих функција. Цонволутион. Директан производ. Носилац генерализоване функције. Решавање нехомогене једнодимензионалне једначине топлоте коришћењем основног решења. Основно решење обичног диференцијалног оператора на интервалу.
11. Фундаментална решења.
Извођење Поиссонове формуле за вишедимензионалну једначину топлоте. Извођење Киркхоффове формуле. Извођење Поиссонове формуле за таласну једначину. Решавање задатака методом раздвајања променљивих, методом суперпозиције.
12. Лапласова једначина.
Извођење Лапласове једначине. Векторско поље – потенцијал, проток кроз површину. Потенцијал запремине. Потенцијал једноставног слоја. Двослојни потенцијал. Логаритамски потенцијал.
13. Дирихлеов проблем, Нојманов проблем и Гринова функција.
Хармоничне функције. Принцип слабог екстрема. Харнакова теорема. Строги принцип максимума. Теорема јединствености. Теорема средње вредности. Бескрајна глаткоћа. Лиувилова теорема. Греенова формула. Гринова функција, њена својства. Решење Поиссоновог проблема са Дирихлетовим условима коришћењем Гринове функције. Други проблеми са граничним вредностима. Конструкција Гринове функције методом рефлексије.
14.Мултидимензионална Фуријеова метода.
Решавање задатака Фуријеовом методом. Разни гранични услови. Беселове функције. Легендреов полином. Преглед завршеног курса. Резимирајући.